Ejercicios de Funciones para 1º de Bachillerato con Soluciones Completas

Las funciones son uno de los pilares fundamentales de las matemáticas, y en 1º de Bachillerato, su estudio se vuelve más profundo y significativo. Pero, ¿qué es exactamente una función? En términos simples, una función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas, donde cada entrada está relacionada con exactamente una salida. Imagina que tienes una máquina mágica: cada vez que introduces un número, obtienes otro número como resultado. Esa máquina es tu función. En este artículo, exploraremos diversos ejercicios de funciones, con soluciones completas para que puedas entender cada paso del proceso. Así que, ¡prepara tu calculadora y comencemos!

¿Qué es una Función?

Para empezar, es esencial definir qué es una función de manera más formal. En matemáticas, una función se representa comúnmente como f(x), donde x es el valor de entrada, y f(x) es el valor de salida. Esto significa que para cada valor que le das a x, hay un único resultado correspondiente. Por ejemplo, si consideramos la función f(x) = 2x + 3, al introducir x = 1, obtendremos f(1) = 5. Pero, ¿qué pasa si introducimos x = 2? ¡Exacto! La respuesta sería f(2) = 7.

Tipos de Funciones

Las funciones pueden clasificarse en varios tipos, y cada una tiene sus propias características. Aquí hay algunos de los más comunes:

• Funciones lineales: Estas son funciones que se representan gráficamente como líneas rectas. Un ejemplo clásico es f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y.
• Funciones cuadráticas: Estas funciones tienen la forma f(x) = ax² + bx + c y se representan gráficamente como parábolas. Su forma nos ayuda a identificar sus propiedades, como los puntos máximos y mínimos.
• Funciones exponenciales: Estas funciones crecen rápidamente y tienen la forma f(x) = a * b^x, donde a y b son constantes.

Ejercicios Prácticos

Ahora que tenemos una buena comprensión de lo que son las funciones y los tipos más comunes, es hora de practicar. A continuación, te presento algunos ejercicios que te ayudarán a consolidar tus conocimientos.

Ejercicio 1: Función Lineal

Calcula el valor de f(x) para x = -2 en la función f(x) = 3x – 4.

Solución:

Para resolverlo, simplemente sustituimos -2 en la función:

f(-2) = 3(-2) - 4
       = -6 - 4
       = -10

Así que f(-2) = -10. ¡Fácil, verdad?

Ejercicio 2: Función Cuadrática

Encuentra las raíces de la función cuadrática f(x) = x² – 5x + 6.

Solución:

Para encontrar las raíces, podemos factorizar la ecuación:

f(x) = (x - 2)(x - 3) = 0

Esto nos da dos soluciones: x = 2 y x = 3.

Gráficas de Funciones

La representación gráfica de funciones es fundamental para entender su comportamiento. Al graficar, podemos visualizar cómo cambia el valor de f(x) en función de x. Vamos a explorar cómo graficar funciones lineales y cuadráticas.

Graficando Funciones Lineales

Para graficar una función lineal como f(x) = 2x + 1, necesitamos dos puntos. Calculamos el valor de f(x) para dos valores de x, por ejemplo, x = 0 y x = 2:

f(0) = 2(0) + 1 = 1
f(2) = 2(2) + 1 = 5

Así que tenemos los puntos (0, 1) y (2, 5). Al unir estos puntos, obtendremos una línea recta que representa nuestra función.

Graficando Funciones Cuadráticas

Las funciones cuadráticas, como f(x) = x² – 4, son un poco más complicadas. Para graficar, necesitamos encontrar el vértice y las intersecciones con los ejes. El vértice de esta función es (0, -4) y las raíces son (-2, 0) y (2, 0).

Propiedades de las Funciones

Entender las propiedades de las funciones es crucial para resolver problemas más complejos. Algunas propiedades clave incluyen:

• Dominio: El conjunto de todos los posibles valores de entrada (x) para los cuales la función está definida.
• Rango: El conjunto de todos los posibles valores de salida (f(x)) que la función puede tomar.
• Paridad: Determina si una función es par, impar o ninguna de las dos. Por ejemplo, f(x) = x² es par, mientras que f(x) = x³ es impar.

Ejercicios de Aplicación

Ahora que hemos cubierto lo básico, veamos algunos ejercicios de aplicación que te ayudarán a entender cómo usar funciones en situaciones del mundo real.

Ejercicio 3: Problema de la Vida Real

Imagina que estás en una carrera de 100 metros. La distancia que recorres en función del tiempo se puede modelar con la función d(t) = 100 – 5t, donde d es la distancia en metros y t es el tiempo en segundos. ¿Cuánto tiempo tardarás en completar la carrera?

Solución:

Para encontrar el tiempo, necesitamos saber cuándo d(t) = 0:

100 - 5t = 0
5t = 100
t = 20

Por lo tanto, tardarás 20 segundos en completar la carrera.

Ejercicio 4: Crecimiento Poblacional

Supón que una población de conejos crece según la función P(t) = P0 * e^(rt), donde P0 es la población inicial, r es la tasa de crecimiento y t es el tiempo. Si la población inicial es P0 = 50 y r = 0.1, ¿cuál será la población después de 5 años?

Solución:

P(5) = 50 * e^(0.1*5) ≈ 50 * e^(0.5) ≈ 50 * 1.6487 ≈ 82.43

Por lo tanto, la población será aproximadamente 82 conejos después de 5 años.

Las funciones son una herramienta poderosa en matemáticas que nos permite modelar y entender el mundo que nos rodea. A través de ejercicios y ejemplos, hemos aprendido a trabajar con funciones lineales y cuadráticas, así como a graficarlas y aplicar sus propiedades. Espero que este artículo te haya proporcionado una comprensión más clara y profunda de las funciones. No dudes en practicar más, ya que la práctica es la clave para dominar este tema.

1. ¿Cuál es la diferencia entre una función y una relación?
Una función es un tipo especial de relación donde cada entrada tiene exactamente una salida. En cambio, una relación puede tener múltiples salidas para una misma entrada.

2. ¿Cómo puedo determinar si una función es par o impar?
Para determinar si una función es par, verifica si f(-x) = f(x) para todos los x. Para ser impar, debe cumplir f(-x) = -f(x).

3. ¿Qué es el dominio de una función?
El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada para los cuales la función está definida. Por ejemplo, en la función f(x) = 1/x, el dominio excluye x = 0 porque no se puede dividir por cero.

4. ¿Por qué son importantes las funciones en la vida diaria?
Las funciones nos ayudan a modelar situaciones del mundo real, como el crecimiento poblacional, el movimiento de los objetos, y muchas otras aplicaciones en ciencia, economía, e ingeniería.