Ejercicios de Inecuaciones Resueltos para 1º de Bachillerato: Guía Completa - planetalibro.es

Las inecuaciones son uno de esos temas en matemáticas que, aunque pueden parecer intimidantes al principio, son fundamentales para desarrollar habilidades analíticas y resolver problemas en la vida real. ¿Alguna vez te has encontrado en una situación donde necesitas determinar si un precio es asequible o si un tiempo de entrega es razonable? ¡Ahí es donde entran en juego las inecuaciones! En este artículo, te guiaré a través de varios ejercicios resueltos que te ayudarán a entender cómo funcionan las inecuaciones y cómo puedes aplicarlas en diferentes contextos. Así que, siéntate, relájate y prepárate para desentrañar el mundo de las inecuaciones. ¿Listo?

¿Qué es una Inecuación?

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Antes de sumergirnos en los ejercicios, es crucial entender qué es una inecuación. En términos simples, una inecuación es una expresión matemática que establece una relación de desigualdad entre dos expresiones. Por ejemplo, si tenemos x + 2 > 5, estamos diciendo que la suma de x y 2 es mayor que 5. Las inecuaciones pueden ser de diferentes tipos: mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥), y menor o igual que (≤). Cada uno de estos símbolos tiene su propio significado y se utiliza en diferentes contextos.

Tipos de Inecuaciones

Existen varios tipos de inecuaciones que puedes encontrar, y es importante familiarizarse con ellas. Aquí te dejo un resumen de los más comunes:

Inecuaciones lineales: Son aquellas que se pueden expresar en la forma ax + b > c. Por ejemplo, 2x – 3 < 7.
Inecuaciones cuadráticas: Involucran términos cuadráticos y tienen la forma ax² + bx + c > 0. Un ejemplo sería x² – 4x + 3 ≤ 0.
Inecuaciones racionales: Estas inecuaciones contienen fracciones y se expresan como f(x) > g(x), donde f y g son funciones racionales.

Resolviendo Inecuaciones Lineales

Ahora que tenemos una idea básica de lo que son las inecuaciones, vamos a resolver algunas inecuaciones lineales. Comencemos con un ejemplo simple:

Ejemplo 1: Resolviendo 2x – 3 > 7

Primero, sumamos 3 a ambos lados de la inecuación:

2x – 3 + 3 > 7 + 3

Esto simplifica a 2x > 10.

Luego, dividimos ambos lados por 2:

x > 5.

Finalmente, podemos representar esta solución en una recta numérica, donde todo lo que esté a la derecha de 5 será parte de la solución.

Ejemplo 2: Resolviendo -3x + 4 ≤ 10

Restamos 4 de ambos lados:

-3x ≤ 10 – 4

Esto se convierte en -3x ≤ 6.

Ahora, dividimos ambos lados por -3. Recuerda que al dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte:

x ≥ -2.

De nuevo, podemos representar esta solución en una recta numérica, donde todo lo que esté a la derecha de -2 es parte de la solución.

Resolviendo Inecuaciones Cuadráticas

Pasemos a un nivel más avanzado: las inecuaciones cuadráticas. Este tipo de inecuaciones puede parecer complicado, pero una vez que entiendes el proceso, es bastante sencillo. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 3: Resolviendo x² – 5x + 6 < 0

Primero, factorizamos la expresión cuadrática:

(x – 2)(x – 3) < 0.

Ahora, identificamos los puntos críticos, que son los valores de x donde la expresión es igual a cero. En este caso, son x = 2 y x = 3.
Dividimos la recta numérica en intervalos basados en estos puntos críticos: (-∞, 2), (2, 3), y (3, ∞).
Probamos un valor de cada intervalo para determinar dónde la inecuación se cumple:

Para el intervalo (-∞, 2), probamos x = 0: (0 – 2)(0 – 3) = 6 > 0 (no es solución).
Para el intervalo (2, 3), probamos x = 2.5: (2.5 – 2)(2.5 – 3) = -0.25 < 0 (sí es solución).
Para el intervalo (3, ∞), probamos x = 4: (4 – 2)(4 – 3) = 2 > 0 (no es solución).

Así que la solución es 2 < x < 3.

Resolviendo Inecuaciones Racionales

Las inecuaciones racionales pueden ser un poco más complicadas debido a las fracciones, pero no te preocupes, ¡estamos aquí para ayudarte! Veamos un ejemplo:

Ejemplo 4: Resolviendo 1/(x – 1) < 2

Primero, restamos 2 de ambos lados:

1/(x – 1) – 2 < 0.

Para simplificar, llevamos a un denominador común:

(1 – 2(x – 1))/(x – 1) < 0

Esto se convierte en (3 – 2x)/(x – 1) < 0.

Identificamos los puntos críticos, donde el numerador o el denominador son cero:

3 – 2x = 0 → x = 1.5 y x – 1 = 0 → x = 1.

Dividimos la recta numérica en intervalos basados en estos puntos críticos: (-∞, 1), (1, 1.5), y (1.5, ∞).
Probamos un valor de cada intervalo:

Para el intervalo (-∞, 1), probamos x = 0: (3 – 2(0))/(0 – 1) = 3 < 0 (sí es solución).
Para el intervalo (1, 1.5), probamos x = 1.25: (3 – 2(1.25))/(1.25 – 1) = -0.5 < 0 (sí es solución).
Para el intervalo (1.5, ∞), probamos x = 2: (3 – 2(2))/(2 – 1) = -1 > 0 (no es solución).

La solución es x < 1 o 1 < x < 1.5.

Consejos y Estrategias para Resolver Inecuaciones

Ahora que hemos cubierto varios ejemplos, aquí hay algunos consejos y estrategias que te ayudarán a resolver inecuaciones de manera más eficiente:

Lee cuidadosamente: Asegúrate de entender lo que se te pide. A veces, un simple error de interpretación puede llevar a una solución incorrecta.
Dibuja la recta numérica: Esto te ayudará a visualizar las soluciones y los intervalos.
Prueba valores: No dudes en probar valores de diferentes intervalos para verificar tus respuestas.
Revisa tus pasos: Siempre es buena idea revisar tus cálculos y pasos para asegurarte de que no has cometido errores.

¿Cuál es la diferencia entre una ecuación y una inecuación?

Una ecuación establece que dos expresiones son iguales, mientras que una inecuación establece una relación de desigualdad entre ellas.

¿Puedo resolver inecuaciones con calculadora?

Sí, muchas calculadoras gráficas pueden ayudarte a visualizar inecuaciones y encontrar soluciones. Sin embargo, es importante entender el proceso manualmente.

¿Qué pasa si tengo una inecuación con una variable en el denominador?

Debes tener cuidado con los valores que hacen que el denominador sea cero, ya que esos puntos no estarán incluidos en la solución.

¿Cómo puedo practicar más inecuaciones?

Existen muchos recursos en línea, libros de texto y ejercicios prácticos que te ayudarán a mejorar tus habilidades en inecuaciones. ¡No dudes en buscar más ejemplos!

Ahora que hemos cubierto los conceptos y ejercicios básicos sobre inecuaciones, espero que te sientas más confiado para enfrentarte a este tema en tus estudios. Recuerda, ¡la práctica hace al maestro! No dudes en volver a este artículo siempre que necesites un repaso. ¿Listo para poner a prueba tus habilidades? ¡Vamos por más!